数

数（かず、すう、英: number）とは、

• ものの順序を示す語。あるいは、その記号。^[1]
• 個々の事物が、（全体または一定の範囲で）いくつあるか（何回おきるか）ということを表すもの。^[1]

ITなど特定の分野においては「数値（すうち）」ともいう。

数とは、順序や量を表すための語（概念）、および その記号（文字）である。

数と数字はしばしば混同され、また混同しても問題がない場合もあるが、本質的には異なる概念であり、数とは物の順序・量などを表現しているのに対して、数字のほうは、その数を表すための記号（文字）である。

数の体系[編集]

数概念の拡張の歴史

数の概念は人類の歴史とともに次第に拡張されてきた。もっとも素朴な存在としての数は、ものの順番や個数としての自然数である。

ここにゼロ（零）、およびひとつひとつの自然数と一対になっている負の数（負の整数）を加えることで、整数が考えだされた。（この段階ではこれで「全ての数」とも考えられたので「integer」と呼ばれた。もともとintegerとは「全体」とか「欠けの無い」という意味）

さらに整数の商を考えて有理数と拡張され、四則演算が自由に行える体系を得る。有理数から実数への拡張はこのような演算とは異なるギャップを埋めることで得られ、代数方程式の解法を通じて虚数を含む複素数へと拡張された。

• 自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数
• 複素数 - 虚数、実数
• 複素数 - 代数的数、超越数
• 実数 - 無理数、有理数
• 有理数
• 整数 - 自然数、負の整数
• 自然数 = 正の整数

様々な拡張法[編集]

これらを更に別の観点から拡張した体系が存在する。例えば、ものの個数の概念である自然数を拡張して基数が、ものの順番を表す意味での自然数の拡張として順序数が定義される。複素数を更に拡張したものとして、四元数、八元数・十六元数などの体系がある。あるいは、実数に加えて無限小や無限大を含む超実数などの体系もある。

• 自然数 → 基数
  • 基数 - 有限基数（= 自然数）、無限基数
• 自然数 → 順序数
  • 順序数 - 有限順序数（= 自然数）、超限順序数
• 実数 → 複素数 → 四元数 → 八元数 → 十六元数
• 有理数 → p-進数 （+ 実数 → アデール）
• 実数 → 超実数